📐 初升高数学 · 基础巩固到高一进阶
先补稳初中的数与式、方程函数、几何和统计概率，再进入高一必修第一、二册。重点题不只给答案，而是逐步说明为什么这样做、每一步怎么算、最后怎样检查。
数与式：把计算基本功练稳
有理数、整式、因式分解、分式和二次根式是高中运算的地基。原则只有一句：先看有没有意义，再按运算顺序一步一步做。
1.1 有理数与代数式
- 相反数：只有符号不同的两个数，和为 0；绝对值表示数到原点的距离，所以绝对值不会是负数。
- 运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号；同一级从左到右。
- 合并同类项：字母相同且相同字母的指数也相同，只把系数相加减。
1.2 因式分解、分式与二次根式
因式分解是把“和差”变成“乘积”。顺序通常是：先提公因式，再看平方差或完全平方公式。
- 分式有意义：分母 ≠ 0；分式值为 0：分子 = 0 且分母 ≠ 0。
- 约分约掉的是相同因式，不能把加减号连接的项直接约掉。
- 二次根式：√(a²)=|a|；最简根式要把能开方的因数移到根号外。
详细例题：化简分式
化简 $$\frac{x^2-9}{x^2-3x}\div\frac{x+3}{x}$$
先想方法：先写取值限制，再因式分解；除以分式要乘倒数，最后只能约相同因式。
第 1 步先看第一个分母 x²−3x。两项都含有 x，所以提取公因式 x。\(x^2-3x=x\cdot x-3\cdot x\)\(\phantom{x^2-3x}=x(x-3)\)把括号重新乘开，x·x−x·3=x²−3x，说明提取正确。
第 2 步分母不能等于 0，所以 x(x−3)≠0。这要求 x≠0，而且 x−3≠0，也就是 x≠3。
第 3 步除数也不能是 0。分式 (x+3)/x 等于 0 时，分子 x+3=0，所以还要排除 x=−3。除法里不能除以 0；分式等于 0 需要“分子为 0、分母不为 0”。
第 4 步分解 x²−9。因为 9=3²，所以它是平方差。\(x^2-9=x^2-3^2\)\(\phantom{x^2-9}=(x-3)(x+3)\)这里在 a²−b²=(a−b)(a+b) 中取 a=x、b=3。
第 5 步把“除以一个分式”改成“乘它的倒数”。\(\dfrac{(x-3)(x+3)}{x(x-3)}\div\dfrac{x+3}{x}\)\(=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x(x-3)}\times\dfrac{x}{x+3}\)就像 6÷(2/3)=6×(3/2)，倒数把分子、分母的位置交换。
第 6 步先写成一个大分数，再约相同因式。\(\dfrac{(x-3)(x+3)x}{x(x-3)(x+3)}\)\(=1\)分子、分母同时除以非零的 x、x−3、x+3，分式值不变。
写答案原式=1，其中 x≠−3、0、3。
方程、不等式与函数
方程是在找“使等式成立的数”，函数是在研究两个变量怎样一起变化。高中函数和不等式会反复用到这些基础。
2.1 方程和不等式的通用方法
- 一元一次方程：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为 1 → 验算。
- 二元一次方程组：用代入或加减，把两个未知数消成一个。
- 一元二次方程：优先观察能否因式分解，也可用配方法或求根公式。
- 不等式：两边同乘或同除以负数时，不等号必须改变方向。
详细例题：解含分母的一元一次方程
解方程 $$\frac{2(x-1)}{3}-\frac{x+2}{2}=1$$
第 1 步分母 3 和 2 的最小公倍数是 6。方程两边同时乘 6，等式仍然成立。
第 2 步把 6 乘到等号两边的每一项，不能漏掉右边的 1。\(6\times\dfrac{2(x-1)}3-6\times\dfrac{x+2}2=6\times1\)\((6\div3)\times2(x-1)-(6\div2)(x+2)=6\)\(4(x-1)-3(x+2)=6\)
第 3 步去括号。\(4(x-1)=4x-4\)\(-3(x+2)=-3x-6\)\(4x-4-3x-6=6\)−3 不只乘 x，也要乘 +2；因此最后是 −6。
第 4 步合并同类项，再让 x 单独留在左边。\(4x-3x-4-6=6\)\(x-10=6\)\(x-10+10=6+10\)\(x=16\)常说的“移项变号”，本质是等式两边同时加 10。
第 5 步把 x=16 代回原方程。\(\dfrac{2(16-1)}3-\dfrac{16+2}2\)\(=2\times15\div3-18\div2\)\(=10-9=1\)左边等于右边，答案正确。
2.2 一次、反比例和二次函数
| 函数 | 图像和关键性质 | 先看什么 |
|---|---|---|
| y=kx+b（k≠0） | 直线；k>0 上升，k<0 下降 | 斜率 k、与坐标轴交点 |
| y=k/x（k≠0） | 双曲线；x、y 都不能为 0 | k 的正负、所在象限 |
| y=ax²+bx+c（a≠0） | 抛物线；a 决定开口方向 | 顶点、对称轴、零点 |
详细例题：用三种形式读懂二次函数
分析函数 y=x²−4x+3 的开口、顶点、对称轴、零点、最小值和正负区间。
第 1 步二次项系数 1>0，所以抛物线开口向上。
第 2 步配方，把前三项凑成 (x−2)²。\(x^2-4x+3\)\(=x^2-4x+4-4+3\)第二行同时加 4、减 4，原式的值没有改变。\(=(x^2-4x+4)-1\)\(=(x-2)^2-1\)(x−2)²=x²−4x+4，展开一次即可检查。
第 3 步对照 y=(x−h)²+k，顶点是 (h,k)，所以顶点为 (2,−1)，对称轴为 x=2。
第 4 步因为 (x−2)²≥0，所以 y≥−1；当 x=2 时取到最小值 −1。
第 5 步求零点，要把 x²−4x+3 分解。找两个数，使乘积为 +3、和为 −4。1×3=3，而 (−1)+(−3)=−4，所以选 −1 和 −3。\(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\)\((x-1)(x-3)=x^2-3x-x+3=x^2-4x+3\)第二行把右边重新展开，用来检查因式分解。
第 6 步令 y=0，则 (x−1)(x−3)=0。两个数相乘等于 0，至少有一个因式为 0，所以 x=1 或 x=3。
第 7 步判断正负不能只靠猜，分三个区间各取一个数代入：x=0 时 (−1)(−3)>0；x=2 时 (1)(−1)<0；x=4 时 (3)(1)>0。
写结论y>0：x<1 或 x>3；y<0：1<x<3；y=0：x=1 或 3。
几何：从条件到结论
几何题不要靠“看起来像”。把已知条件翻译成定理，再逐步推出结论；每一个等角、等边和比例都要有理由。
3.1 三角形、全等、相似与勾股定理
- 三角形内角和 180°；两边之和大于第三边；外角等于不相邻两内角之和。
- 全等判定：SSS、SAS、ASA、AAS；直角三角形还有 HL。只有“边边角”一般不能判全等。
- 相似判定：两角对应相等；两边成比例且夹角相等；三边对应成比例。
- 直角三角形：a²+b²=c²；其逆定理也成立，可用来判断直角。
详细例题：平行线与相似三角形
在 △ABC 中，D 在 AB 上，E 在 AC 上，且 DE∥BC。已知 AD=3、DB=2、AE=4.2，求 EC 和 DE:BC。
第 1 步因为 DE∥BC，所以 ∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB（两直线平行，内错角相等）。
第 2 步两组角对应相等，所以 △ADE∽△ABC。对应关系是 A↔A、D↔B、E↔C。
第 3 步先求整条边：AB=AD+DB=3+2=5，因此相似比 AD/AB=3/5。
第 4 步对应边成比例：AE/AC=AD/AB=3/5。代入 AE=4.2 后逐步解 AC。\(\dfrac{4.2}{AC}=\dfrac35\)\(4.2\times5=3\times AC\)第二行是交叉相乘。\(21=3AC\)\(AC=21\div3=7\)交叉相乘来自等式两边同时乘 5AC，不是一条没有来源的口诀。
第 5 步EC=AC−AE=7−4.2=2.8；又 DE/BC=3/5，所以 DE:BC=3:5。
3.2 四边形与圆
- 平行四边形：两组对边分别平行且相等，对角相等，对角线互相平分。
- 矩形比平行四边形多“一个直角”，菱形多“邻边相等”，正方形同时具有两者性质。
- 圆中同弧所对的圆周角相等；直径所对圆周角是 90°；切线垂直于过切点的半径。
- 圆心到弦的垂线平分弦。圆题看到“圆心到弦的距离”，通常要构造直角三角形。
详细例题：圆中构造直角三角形
圆 O 的半径为 5，圆心到弦 AB 的距离为 3，求弦 AB 的长度。
第 1 步从圆心 O 向弦 AB 作垂线 OM，垂足为 M。题目说圆心到弦的距离是 3，所以 OM=3；OM⊥AB，所以 ∠OMA=90°。
第 2 步根据“垂径定理”，圆心到弦的垂线平分弦，所以 AM=BM。
第 3 步OA 是半径，所以 OA=5。在直角三角形 OAM 中列勾股定理。\(OA^2=OM^2+AM^2\)\(5^2=3^2+AM^2\)\(25=9+AM^2\)\(AM^2=25-9=16\)\(AM=4\)AM 是长度，只能取正数，因此不取 −4。
第 4 步AB=AM+BM=2AM=8。
统计、概率与应用题
统计是从数据中读信息，概率是描述随机事件发生的可能性。应用题先设未知数、找等量关系，最后必须回到实际情境。
4.1 统计量与简单概率
- 平均数看总体水平；中位数是不易受极端值影响的中间水平；众数是出现最多的数。
- 方差越大，数据越分散；越小，数据越稳定。
- 等可能事件：P(A)=事件 A 包含的结果数÷所有等可能结果数。
- 有放回与无放回会改变第二次抽取的总数和概率，必须看清题意。
详细例题：把实际问题翻译成方程
一个长方形周长为 40，面积为 96，求它的长和宽。
第 1 步设两条邻边分别为 x、y。长度必须为正，所以 x>0、y>0。
第 2 步由周长列式 2(x+y)=40。等式两边同时除以 2，得 x+y=20；再两边同时减 x，得 y=20−x。
第 3 步由面积 xy=96，代入 y：x(20−x)=96。
第 4 步去括号并把方程整理成右边为 0。\(x(20-x)=96\)\(20x-x^2=96\)\(20x-x^2-96=0\)\(x^2-20x+96=0\)最后一行由等式两边同时乘 −1 得到。
第 5 步因式分解。要找两个正数，乘积为 96、和为 20。因为 8×12=96，8+12=20，所以\(x^2-20x+96=(x-8)(x-12)\)\((x-8)(x-12)=x^2-12x-8x+96=x^2-20x+96\)第二行把右边重新展开，用来检查。
第 6 步(x−8)(x−12)=0。根据“零乘积原理”，两个因式中至少一个为 0，所以 x−8=0 或 x−12=0，即 x=8 或 x=12。
第 7 步若 x=8，则 y=20−8=12；若 x=12，则 y=20−12=8。两种写法只是把长和宽交换。
写答案长为 12，宽为 8。
集合与常用逻辑用语
进入高中的第一课：学会用集合的语言描述数学对象，用逻辑用语进行严谨推理。
1.1 集合的概念与表示
集合：把一些确定的、互不相同的对象组成的整体叫做集合，每个对象叫做元素。
- 三特性：确定性（是就是、不是就不是）、互异性（元素不重复）、无序性（{1,2}={2,1}）。
- 元素与集合的关系：属于 ∈ 、不属于 ∉。
- 常用数集：自然数集 N、正整数集 N* 或 N+、整数集 Z、有理数集 Q、实数集 R、复数集 C。
- 表示方法：列举法 {1,2,3}、描述法 {x | x 满足的条件}、图示法（韦恩图 / 数轴）。
1.2 集合间的基本关系
- 子集：A 中每个元素都在 B 中，记 A ⊆ B。
- 真子集：A ⊆ B 且 A ≠ B，记 A ⊊ B。
- 集合相等：A ⊆ B 且 B ⊆ A ⟺ A = B。
1.3 集合的基本运算
| 运算 | 定义 | 性质速记 |
|---|---|---|
| 交集 A ∩ B | 既属于 A 又属于 B 的元素 | ∩ 取"公共"，越交越小 |
| 并集 A ∪ B | 属于 A 或属于 B 的元素 | ∪ 取"全部"，越并越大 |
| 补集 ∁UA | 全集中不属于 A 的元素 | A ∪ ∁UA = U，A ∩ ∁UA = ∅ |
1.4 充分条件与必要条件
- p ⟹ q：p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。
- p ⟺ q：p 是 q 的充要条件（充分且必要）。
- 从集合看：p 对应集合 P，q 对应集合 Q。P ⊆ Q ⟹ p 是 q 的充分条件；P = Q ⟺ 充要。
1.5 全称量词与存在量词
- 全称量词 "∀"（任意）：∀x ∈ M, p(x) —— 否定后变为 ∃x ∈ M, ¬p(x)
- 存在量词 "∃"（存在）：∃x ∈ M, p(x) —— 否定后变为 ∀x ∈ M, ¬p(x)
一元二次函数、方程和不等式
把初中熟悉的二次函数、方程，升级为"一元二次不等式"，并引入高中最重要的工具——基本不等式。
2.1 等式性质与不等式性质
- 传递性：a > b 且 b > c ⟹ a > c
- 可加性：a > b ⟺ a + c > b + c；a > b 且 c > d ⟹ a + c > b + d
- 可乘性：a > b，c > 0 ⟹ ac > bc；a > b，c < 0 ⟹ ac < bc（乘负数要变号！）
- 同向可乘：a > b > 0，c > d > 0 ⟹ ac > bd
- 倒数：a > b > 0 ⟹ 1/a < 1/b
2.2 基本不等式（重中之重）
用基本不等式求最值的三个条件：
- 一正：a、b 都为正数；
- 二定：和（或积）为定值；
- 三相等：能取到 a = b。
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
判别式 Δ = b² − 4ac 决定二次方程 ax² + bx + c = 0 的根的情况：
| Δ 的情况 | 方程 ax²+bx+c=0 (a>0) | 不等式 ax²+bx+c > 0 解集 | ax²+bx+c < 0 解集 |
|---|---|---|---|
| Δ > 0 | 两不等实根 x₁ < x₂ | {x | x < x₁ 或 x > x₂} | {x | x₁ < x < x₂} |
| Δ = 0 | 两相等实根 x₀ = −b/2a | {x | x ≠ x₀} | ∅ |
| Δ < 0 | 无实根 | R | ∅ |
2.4 韦达定理（根与系数关系）
函数的概念与性质
函数的定义、三要素、单调性、奇偶性——这是整个高中代数的地基，也是高考函数题的出发点。
3.1 函数的概念（三要素）
设 A、B 是非空实数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使 A 中任意一个数 x，在 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，就称 f: A→B 为从 A 到 B 的函数。
- 两函数相同 ⟺ 定义域相同 且 对应关系相同（与用什么字母无关）。
- 定义域优先：一切函数问题先求定义域！
3.2 函数的单调性
设函数 f(x) 定义域为 I，区间 D ⊆ I：∀x₁,x₂ ∈ D 且 x₁ < x₂，都有 f(x₁) < f(x₂) ⟹ f(x) 在 D 上单调递增（反之递减）。
- 说单调性时必须指明区间；若整个定义域本身是一个区间，也可以说函数在定义域上单调。
- 判断方法：定义法（作差/作商）、图像法、复合函数"同增异减"法。
3.3 函数的奇偶性
- 偶函数：f(−x) = f(x)，图像关于 y 轴对称。例：y = x²，y = cos x，y = |x|。
- 奇函数：f(−x) = −f(x)，图像关于 原点对称。例：y = x³，y = sin x，y = 1/x。
- 判断前必须先看定义域是否关于原点对称！
3.4 函数图像的变换
| 变换 | 结果 | 口诀 |
|---|---|---|
| 平移 f(x±a) | 左右平移 | 左加右减（x 上加下减） |
| 平移 f(x)±b | 上下平移 | 上加下减（整体） |
| 对称 f(−x) | 关于 y 轴对称 | — |
| 对称 −f(x) | 关于 x 轴对称 | — |
| 对称 −f(−x) | 关于原点对称 | — |
| 翻折 f(|x|) | 保留 y 轴右侧，翻到左侧 | 去左翻右 |
| 翻折 |f(x)| | 保留 x 轴上方，下方翻上来 | 留下翻上 |
3.5 函数与方程 · 零点
指数函数与对数函数
指数与对数是互为逆运算的两种运算，对应指数函数与对数函数互为反函数。掌握"运算→函数→图像"三层结构。
4.1 指数运算
4.2 指数函数
| a > 1 | 0 < a < 1 | |
|---|---|---|
| 图像 | 上升 | 下降 |
| 过定点 | (0, 1) | |
| 单调性 | R 上增 | R 上减 |
| 比较大小 | x > 0 时 aˣ > 1 | x > 0 时 aˣ < 1 |
4.3 对数运算
4.4 对数函数 & 4.5 幂函数
4.6 函数增长差异与函数模型
三角函数
三角函数是高一最后的硬骨头：弧度制、单位圆、诱导公式、图像变换、和差倍角公式。抓住"单位圆"这一灵魂工具。
5.1 任意角与弧度制
- 任意角：正角（逆时针）、负角（顺时针）、零角；终边相同的角：β = α + k·360°（k∈Z）。
- 弧度制：|α| = 弧长/半径。360° = 2π rad，180° = π rad。换算：1° = π/180 rad，1 rad ≈ 57.3°。
5.2 任意角的三角函数（单位圆定义）
设角 α 终边与单位圆交于 P(x, y)，则：
5.3 诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
k·π/2 ± α 的三角函数：k 为偶数函数名不变，k 为奇数函数名变余函数（sin↔cos，tan↔cot）；符号看"原函数在对应象限的符号"（把 α 一律看作锐角）。
5.4 三角函数的图像与性质
| y = sin x | y = cos x | y = tan x | |
|---|---|---|---|
| 定义域 | R | R | x ≠ π/2 + kπ |
| 值域 | [−1, 1] | R | |
| 周期 | 2π | π | |
| 奇偶性 | 奇 | 偶 | 奇 |
| 对称轴 | x = π/2 + kπ | x = kπ | 无 |
| 对称中心 | (kπ, 0) | (π/2+kπ, 0) | (kπ/2, 0) |
5.5 y = A sin(ωx + φ) 的图像变换
5.6 两角和差与倍角公式
平面向量及其应用
向量是"数"与"形"的桥梁：既有大小又有方向，是高中最重要的数学工具之一。
1.1 向量的概念
- 向量：既有大小又有方向的量，记 a⃗ 或 AB⃗。模 |a⃗| 表示大小。
- 零向量 0⃗：模为 0，方向任意；单位向量：模为 1。
- 相等向量：方向相同且模相等；相反向量：方向相反且模相等。
- 共线向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量。
1.2 向量的线性运算
1.3 平面向量基本定理与坐标表示
1.4 正余弦定理（解三角形）
复数
把数的范围从实数扩展到复数——引入虚数单位 i，数的世界从此完整。
2.1 复数的概念
- z 为实数 ⟺ b = 0；z 为纯虚数 ⟺ a = 0 且 b ≠ 0；z = 0 ⟺ a = 0 且 b = 0。
- 复数相等：a+bi = c+di ⟺ a=c 且 b=d。
- 共轭复数：z̄ = a − bi；|z| = √(a²+b²)（模，与向量模一致）。
2.2 复数的四则运算
2.3 复数的几何意义
- 复数 z = a+bi ↔ 复平面内的点 Z(a,b) ↔ 向量 OZ⃗。
- |z| 是点 Z 到原点的距离；|z₁−z₂| 是两点间距离。
- |z| = r 表示以原点为圆心、r 为半径的圆。
立体几何初步
从平面走向空间：柱锥台球的表面积体积、点线面的位置关系、平行与垂直的判定与性质。
3.1 空间几何体与表面积、体积
| 几何体 | 表面积 | 体积 |
|---|---|---|
| 圆柱 | S = 2πrl + 2πr² | V = πr²h |
| 圆锥 | S = πrl + πr² | V = ⅓πr²h |
| 圆台 | S = π(r′² + r′l + r² + rl) | V = ⅓πh(r² + r′² + rr′) |
| 球 | S = 4πR² | V = ⁴⁄₃πR³ |
3.2 点、直线、平面之间的位置关系
- 三个公理：① 两点在平面内 ⟹ 直线在平面内；② 不共线三点确定一个平面；③ 两平面有一公共点 ⟹ 交线过该点。
- 线线位置：相交、平行、异面（不同在任何一个平面内）。
- 线面位置：线在面内、线面平行、线面相交。
- 面面位置：平行、相交。
3.3 平行与垂直（判定与性质）
统计与概率
统计：从数据中提取信息；概率：用数字刻画随机事件的可能性。两者是高一最"实用"的章节。
4.1 统计
- 抽样方法：教材主线是简单随机抽样（抽签法、随机数法）和分层随机抽样（按比例在各层中抽）；系统抽样可作为拓展了解。
- 频率分布直方图：纵轴 = 频率/组距，各小矩形面积之和 = 1，小矩形面积 = 频率。
- 百分位数：p% 分位数——数据从小到大，至少有 p% 的数据 ≤ 它。第 25/50/75 百分位数 = 四分位数（Q₁/Q₂/Q₃）。
4.2 概率
高一数学典型题逐步解析
把前面分散的知识串成完整解题流程。每题先识别类型，再说明公式为什么能用，不省略定义域、取等条件和答题结论。
例题 1：集合与一元二次不等式
已知 A={x | x²−5x+6≤0}，B={x | x>1}，求 A∩B 和 A∪B。
识别：先解二次不等式得到数轴区间，再做集合交并运算。
第 1 步先解释 (x−2)(x−3) 是怎么找到的。x² 的系数是 1，所以找两个数，使它们的乘积等于常数项 +6，和等于一次项系数 −5。6 的正因数组合：1×6，和是 7 2×3，和是 5乘积是正数，说明两数同号；和是负数，说明两数都为负。因此选 −2 和 −3。
第 2 步把中间的 −5x 拆成 −2x−3x，再分组提取公因式。\(x^2-5x+6\)\(=x^2-2x-3x+6\)\(=x(x-2)-3(x-2)\)\(=(x-2)(x-3)\)前两项提 x，后两项提 −3，恰好都出现相同的因式 (x−2)，所以还能再提一次。
第 3 步展开检查右边，确认没有写错符号。\((x-2)(x-3)\)\(=x\cdot x+x\cdot(-3)+(-2)\cdot x+(-2)\cdot(-3)\)\(=x^2-3x-2x+6\)\(=x^2-5x+6\)
第 4 步原不等式变成 (x−2)(x−3)≤0。按 2 和 3 把数轴分成三段，各取一个简单的数试符号。x<2，取 x=0：(0−2)(0−3)=6>02<x<3，取 x=2.5：0.5×(−0.5)=−0.25<0x>3，取 x=4：2×1=2>0
第 5 步题目要求“≤0”，所以取乘积为负的中间一段，还要包括使乘积等于 0 的 x=2、3。因此 A=[2,3]。方括号表示端点能取；若是圆括号，则端点不能取。
第 6 步B 中的条件是 x>1，所以 B=(1,+∞)。1 后面是严格大于号，1 不能取；+∞ 不是一个具体数，永远使用圆括号。
第 7 步[2,3] 中的每个数都大于 1，所以 A 完全包含在 B 中。两集合共同拥有的部分是 A，故 A∩B=[2,3]；至少属于一个集合的全部范围是 B，故 A∪B=(1,+∞)。
例题 2：基本不等式求最值
x>0，求 y=x+4/x 的最小值，并指出何时取到。
验正题目给出 x>0；正数 4 除以正数 x，仍是正数，所以 x 和 4/x 都满足基本不等式的“正数”条件。
看定值计算这两个数的乘积。\(x\cdot\dfrac4x=4\cdot\dfrac xx=4\times1=4\)x>0，所以 x≠0，分子分母中的 x 才可以约掉。积是固定的，适合使用基本不等式。
写过程\(x+\dfrac4x\ge 2\sqrt{x\cdot\dfrac4x}\)\(\phantom{x+\dfrac4x}=2\sqrt4\)\(\phantom{x+\dfrac4x}=2\times2=4\)这说明 y 不可能小于 4。
找等号等号要求两个正数相等，即 x=4/x。逐步解这个方程。\(x=\dfrac4x\)\(x^2=4\)第二行由等式两边同时乘 x 得到。\(x=2\quad\text{或}\quad x=-2\)由 x>0，舍去 −2，只保留 x=2。
写结论当 x=2 时，y 取得最小值 4。
例题 3：定义法证明函数单调性
用定义证明 f(x)=x²−2x 在区间 [1,+∞) 上单调递增。
设元任取 x₁、x₂∈[1,+∞)，并设 x₁<x₂。
作差f(x₂)−f(x₁)=(x₂²−2x₂)−(x₁²−2x₁)。
去括号第二个括号前有减号，里面两项都要变号。\(x_2^2-2x_2-x_1^2+2x_1\)\(=(x_2^2-x_1^2)-2(x_2-x_1)\)
继续变形平方差 x₂²−x₁²=(x₂−x₁)(x₂+x₁)，再提取公因式 x₂−x₁。\((x_2-x_1)(x_2+x_1)-2(x_2-x_1)\)\(=(x_2-x_1)(x_1+x_2-2)\)
定号x₂>x₁，所以 x₂−x₁>0。又因 x₁≥1 且 x₂>x₁，所以 x₂>1，于是 x₁+x₂>2，即 x₁+x₂−2>0。
下结论因此 f(x₂)−f(x₁)>0，即 f(x₂)>f(x₁)，所以 f(x) 在 [1,+∞) 上单调递增。
例题 4：对数方程先写定义域
解方程 log₂(x−1)+log₂(x−3)=3。
第 1 步两个真数都要大于 0。x−1>0 得 x>1；x−3>0 得 x>3。两个条件要同时满足，所以取更严格的 x>3。
第 2 步利用同底对数加法：log₂[(x−1)(x−3)]=3。
第 3 步改写成指数式：(x−1)(x−3)=2³=8。
第 4 步展开并整理。\((x-1)(x-3)=x^2-3x-x+3\)\(\phantom{(x-1)(x-3)}=x^2-4x+3\)\(x^2-4x+3=8\)\(x^2-4x-5=0\)最后一行由等式两边同时减 8 得到。
第 5 步找两个数，使乘积为 −5、和为 −4。−5×1=−5，−5+1=−4，所以\(x^2-4x-5=(x-5)(x+1)=0\)\(x-5=0\quad\text{或}\quad x+1=0\)\(x=5\quad\text{或}\quad x=-1\)
第 6 步检查定义域 x>3，舍去 x=−1，保留 x=5。
例题 5：三角函数图像的参数
函数 y=2sin(2x−π/3)+1，求振幅、周期、初相、值域，并写出取得最大值时 x 的条件。
第 1 步对照 y=A sin(ωx+φ)+b：A=2，ω=2，φ=−π/3，b=1。
第 2 步振幅为 |A|=2；周期 T=2π/|ω|=π；初相就是 x=0 时的相位 φ=−π/3。
第 3 步从 −1≤sin(2x−π/3)≤1 开始。三部分同时乘正数 2，得 −2≤2sin(2x−π/3)≤2；再同时加 1，得 −1≤y≤3，所以值域为 [−1,3]。
第 4 步最大值 3 在 sin(2x−π/3)=1 时取得。
第 5 步sinθ=1 时，θ=π/2+2kπ，其中 k∈Z 表示 k 可以取任意整数。逐步解 x：\(2x-\dfrac\pi3=\dfrac\pi2+2k\pi\)\(2x=\dfrac\pi2+\dfrac\pi3+2k\pi\)\(2x=\dfrac{3\pi}6+\dfrac{2\pi}6+2k\pi=\dfrac{5\pi}6+2k\pi\)\(x=\dfrac{5\pi}{12}+k\pi\)
例题 6：向量坐标与夹角
已知 a⃗=(1,2)，b⃗=(2,−1)。判断两向量是否垂直，并求 |a⃗+b⃗|。
第 1 步横坐标相乘，再加上纵坐标相乘：a⃗·b⃗=1×2+2×(−1)=2−2=0。
第 2 步a⃗、b⃗ 都不是零向量，且数量积为 0，所以 a⃗⊥b⃗。
第 3 步向量相加时对应坐标相加：a⃗+b⃗=(1+2,2−1)=(3,1)。
第 4 步把 (3,1) 看成直角三角形的两条直角边。\(|\vec a+\vec b|=\sqrt{3^2+1^2}\)\(\phantom{|\vec a+\vec b|}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\)
例题 7：古典概率完整计数
袋中有编号 1、2、3、4 的四个相同小球，不放回地依次取两个。求取出的两个号码之和为奇数的概率。
第 1 步把 12 个等可能结果全部列出，避免只背 4×3。先取 1：(1,2)、(1,3)、(1,4)先取 2：(2,1)、(2,3)、(2,4)先取 3：(3,1)、(3,2)、(3,4)先取 4：(4,1)、(4,2)、(4,3)
第 2 步两个数之和为奇数，必须一个奇数、一个偶数。奇数有 1、3，偶数有 2、4。
第 3 步符合条件的结果是 (1,2)、(1,4)、(3,2)、(3,4)、(2,1)、(2,3)、(4,1)、(4,3)，共 8 个。
第 4 步概率=符合条件的结果数÷全部结果数，所以 P=8/12。分子分母同时除以 4，得到 P=2/3。
例题 8：复数除法逐行计算
计算 z=(3+4i)/(1−2i)，并求 |z|。
第 1 步分子分母同时乘 1+2i，相当于乘 (1+2i)/(1+2i)=1，所以原分式值不变。
第 2 步$$z=\frac{(3+4i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}$$
第 3 步分子按“每一项乘每一项”展开。\((3+4i)(1+2i)=3+6i+4i+8i^2\)\(=3+10i+8\times(-1)\)\(=-5+10i\)
第 4 步分母也完整展开。\((1-2i)(1+2i)=1-(2i)^2\)\(=1-4i^2=1-4\times(-1)=5\)
第 5 步分子两项都除以 5：z=(−5+10i)/5=−5/5+(10/5)i=−1+2i。
第 6 步|z|=√[(-1)²+2²]=√(1+4)=√5。
例题 9：立体几何证明要核对定理条件
在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，证明直线 AB∥平面 A₁B₁C₁D₁。
找面内线上底面 A₁B₁C₁D₁ 内有直线 A₁B₁。
证明平行正方体对应棱互相平行，所以 AB∥A₁B₁。
检查包含A₁B₁⊂平面 A₁B₁C₁D₁。
检查不在面内AB 位于下底面，不在上底面 A₁B₁C₁D₁ 内。
核对条件A₁B₁ 在目标平面内，AB 不在目标平面内，而且 AB∥A₁B₁，三个条件都已满足。
引用定理平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。因此 AB∥平面 A₁B₁C₁D₁。
例题 10：统计量要按定义逐项计算
五名同学的成绩为 60、70、70、80、90。求平均数、方差，并求随机抽取一人成绩不低于 80 的概率。
平均数先相加：60+70+70+80+90=370。本题有 5 个数据，所以 x̄=370÷5=74。
离均差每个数据分别减平均数 74：60−74=−14，70−74=−4，70−74=−4，80−74=6，90−74=16。
平方求和把每个离均差平方，再相加。\((-14)^2=196,\quad(-4)^2=16,\quad6^2=36,\quad16^2=256\)\(196+16+16+36+256=520\)
求方差按本页采用的总体方差定义，要除以数据个数 5，所以 s²=520÷5=104。
求概率“不低于 80”即成绩≥80，符合的是 80、90，共 2 人；总共 5 人，所以 P=2/5。
数学公式速查表
考前 10 分钟扫一遍的浓缩公式表。
代数与不等式
函数
三角函数
平面向量与解三角形
立体几何
统计与概率
🧲 初升高物理 · 现象理解到模型推理
先复习初中的测量、运动、力、热、光、电和能量，再进入高一必修力学。每道计算题都按“已知量 → 统一单位 → 选公式 → 代入 → 检查”展开。
测量、运动与质量密度
先学会读数、换单位和描述运动。单位统一是物理计算的第一道安全检查。
1.1 测量与单位换算
- 长度国际单位是米（m），质量是千克（kg），时间是秒（s），温度常用摄氏度（℃）。
- 读刻度先看量程、分度值、零刻线；记录结果时要带单位。
- 误差是测量值与真实值的差异，只能减小；读错刻度、写错单位属于错误，可以避免。
- 单位换算要连“数值和单位”一起换，面积、体积单位还要平方、立方。
详细例题：分段运动的平均速度
小明前 600 m 用时 4 min，后 900 m 用时 6 min。求全程平均速度。
先判断：平均速度大小按“总路程÷总时间”计算，不能直接把两段速度平均。
已知s₁=600 m，t₁=4 min；s₂=900 m，t₂=6 min。
统一单位1 min=60 s，所以 4 min=4×60=240 s，6 min=6×60=360 s。总时间 t=240+360=600 s。
求总路程两段都向前运动，路程直接相加：s=s₁+s₂=600+900=1500 m。
代入公式\(v=\dfrac st\)\(=\dfrac{1500\,\mathrm m}{600\,\mathrm s}\)\(=2.5\,\mathrm{m/s}\)全程平均值必须用全程的总路程和总时间，不能只拿其中一段。
写答案全程平均速度为 2.5 m/s。
1.2 质量、体积与密度
- 质量表示物体含有物质的多少，通常不随位置和状态改变。
- 密度表示单位体积某种物质的质量，是物质的一种特性，不是“物体越大密度越大”。
- 不规则固体体积可用量筒排水法：V物=V放入后−V放入前。
详细例题：用密度判断材料
某金属块质量为 540 g，体积为 200 cm³。求密度，并判断它是否可能是铝（ρ铝=2.7×10³ kg/m³）。
选公式已知质量 m=540 g、体积 V=200 cm³，要求密度，使用 ρ=m/V。
直接计算\(\rho=\dfrac mV\)\(=\dfrac{540\,\mathrm g}{200\,\mathrm{cm^3}}\)\(=2.7\,\mathrm{g/cm^3}\)
换单位1 g=10⁻³ kg，1 cm³=10⁻⁶ m³，所以\(1\,\mathrm{g/cm^3}=\dfrac{10^{-3}\,\mathrm{kg}}{10^{-6}\,\mathrm{m^3}}\)\(=10^3\,\mathrm{kg/m^3}\)\(2.7\,\mathrm{g/cm^3}=2.7\times10^3\,\mathrm{kg/m^3}\)
比较计算值与铝的密度相同，所以在忽略测量误差、物体为空心等情况时，它可能是铝。
力、平衡、压强与浮力
力不能脱离物体单独存在。判断运动状态时先选研究对象，再画它受到的实际力。
2.1 力、惯性与二力平衡
- 力有大小、方向、作用点；力能改变运动状态，也能使物体发生形变。
- 重力 G=mg，方向竖直向下；弹力发生在接触并产生弹性形变的物体间。
- 惯性是物体保持原来运动状态的性质，只与质量有关，不是一个力。
- 同一物体受到两个力平衡：两力必须大小相等、方向相反、同一直线、同一物体。
详细例题：匀速运动时判断各力
质量 5 kg 的木箱在水平地面上受 20 N 水平向右的推力，做匀速直线运动。取 g=10 N/kg，求摩擦力、重力和支持力。
选对象只研究木箱。地球给它重力，地面给它支持力和摩擦力，人给它推力，共 4 个力。
水平方向取向右为正。匀速说明水平合力为 0，所以\(F_{\text{推}}-f=0\)\(20-f=0\)\(f=20\,\mathrm N\)摩擦力方向向左，才能与向右的推力平衡。
求重力G=mg，其中 m=5 kg，g=10 N/kg。\(G=5\,\mathrm{kg}\times10\,\mathrm{N/kg}=50\,\mathrm N\)kg 在分子分母中约掉，剩下 N；重力方向竖直向下。
竖直方向木箱没有上下运动，竖直合力也为 0。\(N-G=0\)\(N=G=50\,\mathrm N\)支持力方向竖直向上。
2.2 固体压强、液体压强与浮力
- 漂浮、悬浮时 F浮=G；上浮过程、下沉过程不一定相等。
- 物体完全浸没后继续下沉，若液体密度不变且物体体积不变，浮力通常不再随深度改变。
详细例题：压强计算中的面积换算
学生质量 50 kg，双脚与地面的总接触面积为 400 cm²。取 g=10 N/kg，求他站立时对地面的压强。
求压力学生在水平地面上静止，且没有其他竖直力，所以他对地面的压力大小等于自身重力。\(F=G=mg\)\(=50\,\mathrm{kg}\times10\,\mathrm{N/kg}=500\,\mathrm N\)
换面积1 cm=0.01 m，面积要把换算倍数也平方。\(1\,\mathrm{cm^2}=(0.01\,\mathrm m)^2=0.0001\,\mathrm{m^2}=10^{-4}\,\mathrm{m^2}\)\(400\,\mathrm{cm^2}=400\times10^{-4}\,\mathrm{m^2}=0.04\,\mathrm{m^2}\)
代公式\(p=\dfrac FS\)\(=\dfrac{500\,\mathrm N}{0.04\,\mathrm{m^2}}\)\(=12\,500\,\mathrm{N/m^2}\)\(=1.25\times10^4\,\mathrm{Pa}\)
写答案对地面的压强为 1.25×10⁴ Pa。
详细例题：称重法求浮力
物体在空气中重 8 N，完全浸没在水中时弹簧测力计示数为 5 N。求物体受到的浮力。
画方向物体受重力 8 N 向下、拉力 5 N 向上、浮力向上。
列平衡规定向上为正。物体静止，合力为 0，所以 F浮+F拉−G=0，也就是 F浮+F拉=G。
求浮力\(F_{\text{浮}}+5\,\mathrm N=8\,\mathrm N\)\(F_{\text{浮}}=8\,\mathrm N-5\,\mathrm N\)\(F_{\text{浮}}=3\,\mathrm N\)浮力方向竖直向上。
声、光、物态变化与热量
这一部分先把生活现象和物理规律对应起来：声音需要介质，光会传播、反射和折射，物态变化伴随吸热或放热。
3.1 声现象与光现象
- 声音由物体振动产生，传播需要介质，真空不能传声；音调看频率，响度看振幅等因素，音色用于区分声源。
- 光在同种均匀介质中沿直线传播；反射角等于入射角，两个角都从法线量起。
- 平面镜成正立、等大、虚像，像与物关于镜面对称。
- 凸透镜物距 u>2f 时成倒立缩小实像；f<u<2f 时成倒立放大实像；u<f 时成正立放大虚像。
详细例题：回声测距
人在山崖前喊话，2 s 后听到回声。取声速 340 m/s，求人与山崖的距离。
读题2 s 是声音“人 → 山崖 → 人”走一个来回的总时间。
总路程\(s_{\text{总}}=v_{\text{声}}t\)\(=340\,\mathrm{m/s}\times2\,\mathrm s\)\(=680\,\mathrm m\)
求单程\(s=\dfrac{s_{\text{总}}}{2}\)\(=\dfrac{680\,\mathrm m}{2}=340\,\mathrm m\)这里的 s 就是人与山崖之间的单程距离。
3.2 物态变化、内能与比热容
- 熔化、汽化、升华吸热；凝固、液化、凝华放热。
- 改变内能有两种方式：做功和热传递。温度升高通常内能增加，但吸热时温度不一定升高，例如晶体熔化。
- 比热容表示物质吸热或放热能力；水的比热容较大，所以同样吸热时温度变化较小。
详细例题：水吸收的热量
2 kg 水从 20 ℃ 升高到 50 ℃，c水=4.2×10³ J/(kg·℃)。求水吸收的热量。
整理已知m=2 kg，初温 t初=20 ℃，末温 t末=50 ℃，c=4.2×10³ J/(kg·℃)。这些单位已经与公式配套。
求温差Δt=t末−t初=50 ℃−20 ℃=30 ℃。
写公式水升温吸热，使用 Q吸=cmΔt。
代入\(Q_{\text{吸}}=4.2\times10^3\times2\times30\,\mathrm J\)\(=4.2\times60\times10^3\,\mathrm J\)\(=252\times10^3\,\mathrm J\)\(=2.52\times10^5\,\mathrm J\)
写答案水吸收的热量为 2.52×10⁵ J。
电路、欧姆定律与电功率
电学题先认清串联还是并联，再画出电流路径，最后使用对应规律。电流表串联，电压表并联。
4.1 串并联规律与欧姆定律
| 串联电路 | 并联电路 | |
|---|---|---|
| 电流 | I=I₁=I₂ | I=I₁+I₂ |
| 电压 | U=U₁+U₂ | U=U₁=U₂ |
| 电阻 | R=R₁+R₂ | 1/R=1/R₁+1/R₂ |
详细例题：串联电路逐项计算
R₁=10 Ω、R₂=20 Ω 串联在 6 V 电源上。求总电阻、电路电流和两个电阻两端电压。
总电阻串联电阻相加：R总=R₁+R₂=10+20=30 Ω。
总电流整个串联电路两端电压为 6 V，总电阻为 30 Ω。\(I=\dfrac{U}{R_{\text{总}}}\)\(=\dfrac{6\,\mathrm V}{30\,\Omega}\)\(=0.2\,\mathrm A\)
分电流串联各处电流相等，所以 I₁=I₂=0.2 A。
R₁ 电压由 I=U/R 变形得 U=IR，所以 U₁=I₁R₁=0.2 A×10 Ω=2 V。
R₂ 电压同理，U₂=I₂R₂=0.2 A×20 Ω=4 V。
4.2 电功、电功率与安全用电
- 1 kW·h=3.6×10⁶ J；千瓦时是电能单位，不是功率单位。
- 用电器正常工作时，实际电压等于额定电压，实际功率等于额定功率。
- 家庭电路用电器并联；开关接在火线上；不能用湿手接触用电器，金属外壳应接地。
详细例题：电热水壶耗电
标有“220 V 1100 W”的电热水壶正常工作 3 min。求电流和消耗的电能。
求电流\(I=\dfrac PU\)\(=\dfrac{1100\,\mathrm W}{220\,\mathrm V}\)\(=5\,\mathrm A\)
换时间用焦耳计算时要用秒：3 min=3×60 s=180 s。
焦耳表示\(W=Pt\)\(=1100\,\mathrm W\times180\,\mathrm s\)\(=198\,000\,\mathrm J=1.98\times10^5\,\mathrm J\)
度数表示若用 kW·h，功率和时间要分别改成 kW、h。\(1100\,\mathrm W=1.1\,\mathrm{kW}\)\(3\,\mathrm{min}=3\div60\,\mathrm h=0.05\,\mathrm h\)\(W=1.1\times0.05=0.055\,\mathrm{kW\cdot h}\)
功、功率、机械效率与电磁联系
“做了多少功”和“做功有多快”是两个问题。磁学则要抓住电流能产生磁场，以及电能和机械能之间的转换。
5.1 功、功率和机械效率
- 做功需要两个条件：物体受到力，并且沿力的方向通过了距离。
- 功率表示做功快慢；同样的功，用时越短，功率越大。
- 机械效率 η=W有用/W总，总有额外功存在，所以实际机械效率小于 100%。
详细例题：机械效率与功率
机械把重 200 N 的物体提升 2 m，动力为 125 N，动力作用点移动 4 m，用时 5 s。求有用功、总功、机械效率和总功率。
有用功目的是把重 200 N 的物体提高 2 m，所以 W有=Gh=200 N×2 m=400 J。
总功动力 125 N 的作用点实际移动 4 m，所以 W总=Fs=125 N×4 m=500 J。
效率\(\eta=\dfrac{W_{\text{有}}}{W_{\text{总}}}\times100\%\)\(=\dfrac{400}{500}\times100\%\)\(=0.8\times100\%=80\%\)
总功率\(P_{\text{总}}=\dfrac{W_{\text{总}}}{t}\)\(=\dfrac{500\,\mathrm J}{5\,\mathrm s}=100\,\mathrm W\)
5.2 磁场、电动机与发电机
- 通电导线周围存在磁场；电磁铁磁性可由电流大小、线圈匝数和铁芯改变。
- 电动机利用通电线圈在磁场中受力转动，把电能转化为机械能。
- 发电机利用电磁感应，把机械能转化为电能；闭合电路的一部分导体切割磁感线时可产生感应电流。
运动的描述
物理学的第一课：如何"量化"地描述一个物体的运动？——用位移、速度、加速度。
1.1 质点、参考系、坐标系
- 质点：忽略形状和大小、只有质量的点。物体能否看作质点取决于研究的问题，而不是物体本身大小。
- 参考系：描述运动时选定的参照物。参考系不同，运动描述可能不同（运动的相对性）。
- 研究地球绕太阳公转 → 地球可看作质点；研究地球自转 → 不可以。
1.2 时间与位移
- 时刻 vs 时间间隔：时刻是"点"（第 3 s 末、第 4 s 初、3 s 时），时间间隔是"段"（3 s 内、第 3 s 内）。
- 位移 x：从初位置指向末位置的有向线段（矢量，只问起点终点）；路程：轨迹长度（标量）。
1.3 速度与加速度
- a 与 v 同向 → 加速；a 与 v 反向 → 减速。a 大 ≠ 速度大（如火箭点火瞬间 a 极大但 v≈0）。
- 速度变化量 Δv = v_t − v₀（矢量差），注意方向。
匀变速直线运动的研究
高中物理的第一个核心模型：加速度恒定的直线运动。三大基本公式 + 两个图像 + 四大推论。
2.1 三大基本公式
五个物理量 v₀、vₜ、a、t、x，知三求二。刹车问题先算停车时间！
2.2 四个重要推论
2.3 图像：x-t 图与 v-t 图
| 图像 | 斜率含义 | 面积含义 | 交点含义 |
|---|---|---|---|
| x-t 图 | 速度 v | 无 | 相遇（位置相同） |
| v-t 图 | 加速度 a | 位移 x（t 轴上下取正负） | 速度相同（追及临界！） |
2.4 自由落体与竖直上抛
2.5 打点计时器实验（必考实验）
- 交流电 50 Hz → 打点周期 T = 0.02 s；每 5 个点取一个计数点 → 时间间隔 0.1 s。
- 求瞬时速度：用该点前后相邻两点的平均速度 v = Δx/(2T)。
- 求加速度：逐差法 a = [(x₄+x₅+x₆) − (x₁+x₂+x₃)] / (3T)²（用足数据，减小误差）。
相互作用——力
力学的基础章：重力、弹力、摩擦力三大性质力 + 受力分析 + 力的合成与分解。
3.1 重力与弹力
- 重力 G = mg（g ≈ 9.8 N/kg），方向竖直向下，作用点在重心。重心不一定在物体上（圆环）。
- 弹力：发生弹性形变的物体对使它形变的物体产生的力。方向：指向形变恢复的方向（压力垂直面、拉力沿绳）。
- 弹力产生的条件：直接接触 + 发生弹性形变。判断方法：假设法（撤去接触物看运动状态是否改变）。
3.2 摩擦力
- 摩擦力方向与相对运动（趋势）方向相反，不一定与运动方向相反——摩擦力可以是动力！
- 滑动摩擦力的方向与相对运动方向相反；静摩擦力的方向与相对运动趋势方向相反。
3.3 牛顿第三定律（相互作用力）
| 作用力与反作用力 | 平衡力 | |
|---|---|---|
| 作用对象 | 两个不同物体 | 同一物体 |
| 性质 | 一定相同（都是弹力/都是摩擦力…） | 可以不同 |
| 变化 | 同时产生、同时消失 | 一个消失另一个可存在 |
| 效果 | 不可抵消 | 可以抵消（合力为零） |
3.4 受力分析（力学基本功）
步骤：先重力 → 再弹力（接触面/绳/杆）→ 后摩擦力（有弹力才可能有摩擦）→ 最后其他力。多物体时"隔离法"或"整体法"。
3.5 力的合成与分解
- 合力范围：|F₁−F₂| ≤ F ≤ F₁+F₂（三角形定则）。
- 三个共点力平衡：任意两个力的合力与第三个力等大反向。
运动和力的关系
牛顿三大定律的运用：动力学两大问题——已知力求运动，已知运动求力。桥梁是加速度 a。
4.1 牛顿第一定律（惯性定律）
- 一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，直到合外力迫使它改变这种状态为止。
- 惯性：物体保持原来运动状态的性质，只与质量有关（质量是惯性的唯一量度）。
- 力不是维持运动的原因，力是改变物体运动状态（产生加速度）的原因。
4.2 牛顿第二定律（核心公式）
- 分方向列式：加速度由合力决定。建立直角坐标系后，可分别写 ΣFₓ=maₓ、ΣFᵧ=maᵧ。
- 瞬时性问题：弹簧弹力不能突变、轻绳（杆）的力可以突变。
4.3 超重与失重
4.4 两类常见模型
- 斜面滑块：光滑斜面 a=g·sinθ；若物体正沿粗糙斜面下滑且使用动摩擦因数 μ，则 μ=tanθ 时匀速，μ>tanθ 时减速，μ<tanθ 时加速。
- 传送带：水平传送带上相对滑动、且水平方向只有摩擦力时，才有 a=μg；同速后要重新受力分析，不能直接认定匀速。
- 板块模型：先判断是否一起运动（假设一起，检验摩擦力是否超过最大静摩擦），再分别列牛顿第二定律。
抛体运动
从直线运动走向曲线运动：曲线运动的条件、运动的合成与分解、平抛运动与斜抛运动。
1.1 曲线运动
- 速度方向沿轨迹切线方向；曲线运动中速度方向时刻改变，所以曲线运动一定是变速运动。
- 做曲线运动的条件：合外力方向与速度方向不在同一直线上（不共线）。
- 合力指向轨迹的凹侧（"力指凹侧"）——判断轨迹弯曲方向的关键。
1.2 运动的合成与分解
- 等时性：分运动与合运动时间相同；独立性：各分运动互不干扰。
- 小船过河：t=d/v船,垂岸；沿岸位移 x=(v水+v船,沿岸)t。最短时间要求船头垂直河岸；能否垂直到岸取决于船速能否抵消水速。
1.3 平抛运动（重点模型）
水平方向：匀速直线运动（v₀）；竖直方向：自由落体运动。两个分运动独立进行。
圆周运动
描述圆周运动的物理量、匀速圆周运动的向心加速度与向心力、生活中的圆周运动。
2.1 描述圆周运动的物理量
2.2 向心加速度与向心力
- 向心力不做功（始终与速度垂直），只改变速度方向。
- 匀速圆周运动：合外力 = 向心力；变速圆周运动：合外力分解为切向（改变速度大小）和法向（改变方向）。
2.3 生活中的圆周运动
- 水平弯道：摩擦力提供向心力；倾斜弯道在不依靠侧向摩擦的设计速度下，有 tanθ=v²/(Rg)。
- 汽车过拱桥最高点：N=mg−mv²/R；凹桥最低点：N=mg+mv²/R。公式必须对应相应位置。
- 离心运动：指向圆心的合力分量小于维持当前圆周运动所需的向心力时，物体偏离原圆周向外侧运动。
万有引力与宇宙航行
从开普勒到牛顿：万有引力定律、天体运动、宇宙速度、卫星与航天。
3.1 开普勒三定律与万有引力定律
3.2 天体运动的基本方法（"天上"与"地上"）
3.3 宇宙速度与卫星
- 近地卫星：r ≈ R，v ≈ 7.9 km/s，T ≈ 84 min（最小周期）。
- 地球同步卫星：周期等于地球自转周期，约 23 h 56 min；只有圆轨道位于赤道平面且与地球同向运行的同步卫星，才是相对地面静止的地球静止卫星，高度约 3.6×10⁴ km。
- 由低圆轨道升到高圆轨道：在低轨切向加速，进入转移椭圆；到远地点再次切向加速，进入高圆轨道。虽然高圆轨道的运行速度小于低圆轨道，但两次点火加速比较的是同一点变轨前后的速度，不能把这两个结论混为一谈。
机械能守恒定律
功和功率、动能定理、重力势能、机械能守恒——用"能量"的眼光看力学问题，往往更简单。
4.1 功与功率
- 总功求法：① 各力做功的代数和；② 先求合力再求合力功（只适用于合力恒定时）。
- 恒力做功 W = Fxcosθ；变力做功：动能定理/图像面积（F-x 图面积 = 功）/平均力法。
4.2 动能定理（万能工具）
4.3 重力势能与弹性势能
4.4 机械能守恒定律
| 场景 | 是否守恒 | 原因 |
|---|---|---|
| 自由落体/平抛/光滑轨道 | ✅ 守恒 | 只有重力做功 |
| 非保守力对所选系统做功不为 0 | ❌ 不守恒 | 如相对粗糙固定表面滑动 |
| 弹簧振子/单摆（忽略阻力） | ✅ 守恒 | 重力+弹力做功 |
| 物体沿粗糙斜面下滑 | ❌ 不守恒 | 摩擦力做负功 |
高一物理典型题逐步解析
固定使用“选对象和过程 → 规定正方向 → 写已知量及单位 → 选规律 → 列式计算 → 检查结果”的流程。
例题 1：往返运动的位移与平均速度
某同学沿直线先向东走 60 m，用时 40 s；再向西走 20 m，用时 10 s。求路程、位移、平均速率和平均速度。
定正方向规定向东为正方向，则第一段位移 +60 m，第二段位移 −20 m。
路程路程只累计轨迹长度：s=60+20=80 m。
位移向西的 20 m 要记负号。x=+60 m+(−20 m)=+40 m；正号表示方向与规定的正方向相同，所以位移大小 40 m、方向向东。
总时间t=40+10=50 s。
平均速率\(v_{\text{率}}=\dfrac{\text{总路程}}{\text{总时间}}\)\(=\dfrac{80\,\mathrm m}{50\,\mathrm s}=1.6\,\mathrm{m/s}\)
平均速度\(\bar v=\dfrac{\text{总位移}}{\text{总时间}}\)\(=\dfrac{+40\,\mathrm m}{50\,\mathrm s}=+0.8\,\mathrm{m/s}\)正号表示方向向东。
例题 2：刹车问题先求停车时间
汽车以 20 m/s 行驶后做加速度大小为 4 m/s² 的匀减速运动。求 3 s 末速度和 8 s 内位移。
定正方向取初速度方向为正，v₀=20 m/s，a=−4 m/s²。
停车时间停车瞬间速度 v=0，使用 v=v₀+at。\(0=20+(-4)t\)\(4t=20\)\(t_{\text{停}}=20\div4=5\,\mathrm s\)
3 s 末3 s<5 s，汽车还在运动。\(v_3=v_0+at\)\(=20+(-4)\times3\)\(=20-12=8\,\mathrm{m/s}\)
判断 8 s8 s>5 s，后 3 s 汽车已停下，不能继续套公式算出反向速度。
停车位移只计算前 5 s，使用 v²−v₀²=2ax。\(0^2-20^2=2\times(-4)\times x\)\(-400=-8x\)\(x=\dfrac{-400}{-8}=50\,\mathrm m\)后 3 s 位移为 0，所以 8 s 内总位移仍是 50 m。
例题 3：受力分析连接运动学
质量 2 kg 的物块在水平面上受 10 N 水平拉力，动摩擦因数 μ=0.2，取 g=10 m/s²。物块从静止开始运动，求加速度和 3 s 内位移。
选对象研究物块。竖直方向有重力 mg 向下、支持力 N 向上；水平方向有拉力 F 向右、滑动摩擦力 f 向左。
竖直平衡物块没有竖直加速度，所以 N−mg=0。于是 N=mg=2 kg×10 N/kg=20 N。
求摩擦物块正在滑动，使用 f=μN=0.2×20 N=4 N，方向与运动方向相反，即向左。
求合力取向右为正：F合=F−f=10 N−4 N=6 N，方向向右。
求加速度\(F_{\text{合}}=ma\)\(a=\dfrac{F_{\text{合}}}{m}=\dfrac{6\,\mathrm N}{2\,\mathrm{kg}}=3\,\mathrm{m/s^2}\)
求位移初速度 v₀=0，时间 t=3 s。\(x=v_0t+\dfrac12at^2\)\(=0+\dfrac12\times3\times3^2\)\(=0.5\times3\times9=13.5\,\mathrm m\)
例题 4：静摩擦先算“需要多少”
质量 5 kg 的物体静止在水平面上，最大静摩擦因数 μₛ=0.5，动摩擦因数 μₖ=0.3，取 g=10 m/s²。分别讨论水平拉力为 20 N 和 30 N 时物体的运动。
支持力竖直方向平衡，所以 N=mg=5 kg×10 N/kg=50 N。
静摩擦上限fₛ,max=μₛN=0.5×50 N=25 N。静摩擦力可在 0 到 25 N 之间按需要变化。
拉力 20 N若要继续静止，需要向左 20 N 的摩擦力。20 N<25 N，没有超过上限，因此实际 fₛ=20 N，合力为 0，物体仍静止。
拉力 30 N30 N>25 N，静摩擦无法维持平衡，物体开始滑动。
滑动后改用动摩擦因数：fₖ=μₖN=0.3×50 N=15 N。水平合力 F合=30 N−15 N=15 N，向右。
求加速度a=F合/m=15 N÷5 kg=3 m/s²，方向与拉力相同。
例题 5：平抛运动先竖直、后水平
从 20 m 高处以 10 m/s 水平抛出小球，忽略空气阻力，取 g=10 m/s²。求落地时间、水平位移和落地速度大小。
分解运动水平方向匀速，竖直方向自由落体；两个方向运动时间相同。
竖直求时竖直下落高度 h=20 m，使用 h=½gt²。\(20=\dfrac12\times10\times t^2\)\(20=5t^2\)\(t^2=20\div5=4\)\(t=2\,\mathrm s\)数学上还有 −2，但时间不能为负，所以只取 2 s。
水平位移水平方向速度始终为 v₀=10 m/s，所以 x=v₀t=10 m/s×2 s=20 m。
速度分量水平分速度 vₓ=10 m/s；竖直分速度 vᵧ=gt=10 m/s²×2 s=20 m/s，方向竖直向下。
合速度两个分速度互相垂直，用勾股定理。\(v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\)\(=\sqrt{10^2+20^2}\)\(=\sqrt{500}=10\sqrt5\,\mathrm{m/s}\)
例题 6：圆周运动先找“谁提供向心力”
质量 1000 kg 的汽车以 10 m/s 通过半径 20 m 的水平弯道。求所需向心力；若轮胎与路面最大静摩擦力为 6000 N，判断是否会侧滑。
找圆心方向水平弯道的圆心在水平方向，重力和支持力竖直平衡，静摩擦力提供向心力。
整理已知m=1000 kg，v=10 m/s，R=20 m，单位都已经是国际单位。
所需向心力\(F_{\text{向}}=\dfrac{mv^2}{R}\)\(=\dfrac{1000\times10^2}{20}\,\mathrm N\)\(=\dfrac{1000\times100}{20}\,\mathrm N\)\(=5000\,\mathrm N\)
比较上限要保持圆周运动，实际静摩擦力需要达到 5000 N。因为 5000 N<6000 N，没有超过它能提供的最大值。
下结论实际静摩擦力会取 5000 N，足以提供向心力，汽车不会侧滑。
例题 7：卫星问题先确认轨道半径
两颗卫星绕同一行星做匀速圆周运动，轨道半径分别为 r 和 4r。比较它们的线速度和周期。
共同模型万有引力提供向心力：GMm/r²=mv²/r。等式两边都有卫星质量 m，可以约去。
推出速度\(\dfrac{GM}{r^2}=\dfrac{v^2}{r}\)\(v^2=\dfrac{GM}{r}\)第二行由等式两边同时乘 r 得到。\(v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}\)速度大小取正值。
比较速度\(\dfrac{v_2}{v_1}=\sqrt{\dfrac{GM/(4r)}{GM/r}}\)\(=\sqrt{\dfrac14}=\dfrac12\)所以 v₂:v₁=1:2。
周期关系开普勒第三定律给出 T²∝r³；两边开平方，得 T∝r^(3/2)。
比较周期\(\dfrac{T_2}{T_1}=\left(\dfrac{4r}{r}\right)^{3/2}\)\(=4^{3/2}=(\sqrt4)^3=2^3=8\)所以 T₂:T₁=8:1。
例题 8：机械能守恒先选系统
质量 1 kg 的小球从离地 5 m 高处由静止自由下落，忽略空气阻力，取地面为零势能面，g=10 m/s²。求落地前速度。
选系统选“小球+地球”为系统；忽略空气阻力，只有系统内重力做功，机械能守恒。
初状态“由静止”表示 v₁=0，所以 Eₖ1=½×1×0²=0；Eₚ1=mgh=1 kg×10 N/kg×5 m=50 J。
末状态以地面为零势能面，落地前 h₂≈0，所以 Eₚ2=0；此时动能 Eₖ2=½mv²=½×1×v²。
列守恒\(E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}\)\(0+50=\dfrac12\times1\times v^2+0\)\(50=0.5v^2\)\(v^2=50\div0.5=100\)
开方取值由 v²=100，数学上 v=±10 m/s。题目问“速度”，且小球正在向下运动，所以写速度大小 10 m/s、方向竖直向下。
物理公式速查表
考前必背的物理公式全家桶。